Gyermek elhelyezése élettársi kapcsolatnál

Amíg közös a felügyelet, addig a gyermek lakcíméről közösen határoztok. Akkor nem lesz a felügyelet közös, ha bíróság előtt így egyeztek meg, vagy perben a bíróság dönt a felügyeletről.
Nyilván a perben előny, hogy te neveled évek óta a gyereket.

Üdv!

Szeretnék segítséget/véleményt kérni.
Volt párommal nem voltunk sem házasok,sem bejegyzett élettársi viszonyunk nem volt.Van egy 6 éves gyermekünk.2019-ben külön költöztünk,de voltak problémák,aláíratott velem egy "megállapodást",amiben rögzítettünk dolgokat a gyermekkel kapcsolatban,pl. azt is,hogy a gyermek közös szülői felügyelet alatt marad,de nálam kerül elhelyezésre,valamint hogy én biztosítok az apának heti minimum 3 napot a gyermekkel.Ez a megállapodás egyébként nem tudom,hogy hiteles-e,hitelesítve nem volt,tanúk azonban aláírták,de a tartalma miatt biztos vagyok benne,hogy egyébként ez nem egy jogszerű megállapodás...Bíróságra nem akartunk menni,én most sem akarok,viszonylag meg tudtunk eddig is egyezni mindenben,viszont nekem azóta új párom lett,akivel szeretnénk összeházasodni,és 1-2 év múlva összeköltözni,ami a távolság miatt azonban nem teszi lehetővé azt,hogy az édesapa napi szinten fizikai kapcsolatban legyen a gyermekkel.Nem akarom tiltani,heti hétvégézést tudtam neki felajánlani,de nagyon ellene van.Mivel a gyermek elhelyezése nincs bírósági határozatban meghatározva,félek,hogy megkeserítené a helyzetemet... Úgy tudom,a költözést nem tilthatja meg...a gyermekem hozzám van bejelentve 2 éve.Az apa egy leharcolt albérletben lakik...
Az lenne a kérdésem,hogyan működik a szülői felügyeleti jog kérése?Nem akarok kizárólagosat,csak annyit,hogy a költözést ne tilthassa meg...
Utánanéztem pár helyen,még az van vissza,hogy bemenjek a gyámügyre,de amennyire lehetséges,ezt elkerülném.... Pénzbe kerül nekem,ha ilyesmit kérvényezek?Mi ennek a menete?Ha az édesapa nem megy bele,de 2 éve gyakorlatilag én nevelem,a vele kapcsolatos kiadások 90%-át én állom...
Kicsit bizonytalan vagyok,mert szeretném is,hogy ki legyen mondva,de ha nem lenne muszáj,nem mennék bíróságra... Nem akarok elhúzódó pereket ezzel kapcsolatban...
Mi az eljárás,ha valaki sem házas,sem bejegyzett élettársi viszonyban nem volt?

Segítségeteket köszönöm!